Gustaf Ullman

How Many Ways Can We Shuffle the Universe? A standard deck of cards contains 52 cards. The number of possible shuffles is $$ 52! $$ that is, $$ 52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1. $$ This is already an enormous number: $$ 52! \approx 8.07 \times 10^{67}. $$ It is so large that any thoroughly shuffled deck of cards has, in all likelihood, never appeared in precisely that order before in the history of the universe. This is a familiar example of how quickly combinatorics produces large numbers. A deck of cards is a small finite system. It has only 52 distinguishable objects. Yet the number of possible arrangements is already far beyond ordinary intuition. But the deck of cards raises a natural question. If a deck can be shuffled in $52!$ ways, how many ways can the universe be “shuffled”? Of course, this question is not precise as it stands. The universe is not literally a deck of cards. Its degrees of freedom are not ordinary objects placed i...

Paradigms, Experience, and What Can Be Translated A paradigm is not merely a collection of opinions. It is a way in which the world becomes intelligible. It determines what counts as real, what counts as knowledge, which questions can be asked, and which answers appear meaningful. It is therefore tempting to say that different paradigms cannot be fully translated into one another. The world of ancient Egypt, a shamanic world, a modern physical world, and a mystical world of experience are not simply different theories about the same neutral object. They are different ways in which reality appears. This should be taken seriously. When we encounter an older religious or cosmological system, such as that of ancient Egypt, we should not immediately reduce it to our own modern vocabulary. The gods, the rites, death, the calendar, the Nile, kingship, and the cosmos did not form a loose collection of beliefs. They belonged to a lived world. To understand this world is not merely to tr...

Paradigm, upplevelse och det som kan översättas Ett paradigm är inte bara en samling åsikter. Det är ett sätt på vilket världen blir begriplig. Det avgör vad som räknas som verkligt, vad som räknas som kunskap, vilka frågor som kan ställas och vilka svar som framstår som meningsfulla. Därför är det lätt att säga att olika paradigm inte fullt ut kan översättas till varandra. Det gamla Egyptens värld, en shamanistisk värld, en modern fysikalisk värld och en mystisk erfarenhetsvärld är inte bara olika teorier om samma neutrala föremål. De är olika sätt för verkligheten att framträda. Detta bör tas på allvar. När vi möter ett äldre religiöst eller kosmologiskt system, till exempel det fornegypiska, bör vi inte genast reducera det till vår egen moderna vokabulär. Gudarna, riterna, döden, kalendern, Nilen, kungamakten och kosmos bildade inte en samling lösa föreställningar. De ingick i en levd värld. Att förstå denna värld innebär inte bara att översätta ord till moderna begrepp. Det...

Ett lutande plan är ett av de första fysikaliska systemen man möter i skolan. En bräda lutas mot ett stöd, en kloss placeras på den, och man frågar sig vid vilken vinkel den börjar glida. Det är så enkelt att det knappt verkar förtjäna sin egen lektion. Men just enkelheten är poängen. Vi ändrar vinkeln, hänger på vikter, ritar kraftpilar och gör en beräkning. Om beräkningen säger jämvikt, inträffar jämvikt. Det fascinerande är inte att problemet är lätt, utan att lättheten avslöjar något: naturen tycks bära på en struktur som våra beräkningar kan träffa. Man kan invända att matematiken bara är en förenklad modell. Vi utelämnar friktion, deformationer, luftmotstånd och annat brus. Men förenklingen förutsätter redan något: att det finns en stabil kärna att förenkla fram, en relation som blir kvar när bruset tagits bort. Det är denna kärna som är gåtan. Ett sätt att närma sig den är att se vad som överlever en översättning mellan beskrivningar. Tänk dig två elever som löser samma ...

Grahams tal, Rayos tal och gränsen för kompressibilitet Det är frestande att föreställa sig mycket stora tal som en tävling i ren storlek. Först kommer exponenter, sedan exponenttorn, sedan Knuths pilar, sedan Grahams tal, och därefter något ännu större. Men den bilden är missvisande. Den antyder att alla dessa konstruktioner ligger i samma landskap, bara allt högre upp. I själva verket rör det sig om olika regimer. Vissa konstruktioner trappar upp operationer inom ett givet språk. Andra utgår från språket självt, dess uttryckskraft och dess gränser, och diagonaliserar sedan över det som kan definieras inom dessa gränser. Det är denna skillnad som visar sig vara avgörande. Detta blir tydligt så snart man börjar tänka i termer av symbolbudget. Om man får använda högst ett visst antal symboler, är frågan inte längre bara vilket tal som är störst, utan hur mycket struktur som kan packas in i en begränsad formel. Därmed förskjuts uppmärksamheten från talen som sådana till språket so...

Hole-argumentet: ett modernt efterspel till Leibniz kritik av Newton I ett tidigare inlägg argumenterade jag för att debatten mellan Newton och Leibniz inte är en historisk kuriositet utan en levande fråga om vilken sorts verklighet fysiken beskriver. Den försiktiga ståndpunkten där var att modern fysik gör en relationell ontologi mer tänkbar, utan att bevisa den. Jag vill här ta ett steg längre och redogöra för ett argument som skärper frågan: det så kallade hole-argumentet. Argumentet har en märklig historia. Einstein formulerade det själv år 1913, under arbetet med den allmänna relativitetsteorin, som ett skäl att förkasta generellt kovarianta fältekvationer. Han trodde att sådana ekvationer gjorde gravitationsfältet otillräckligt bestämt och därmed ledde till en oacceptabel form av underbestämdhet. Denna slutsats försenade hans färdigställande av teorin med omkring två år. I november 1915 kom han fram till att argumentet kunde besvaras och publicerade de färdiga fältekvationer...

Newton or Leibniz? Modern Physics and Two Concepts of Reality The old dispute between Newton and Leibniz is often treated as a historical curiosity. It should not be. Modern physics has not left that dispute behind; it has made its central contrast newly vivid. Newton and Leibniz did not merely disagree about technical physics. They disagreed about what sort of reality physics describes. In the Newtonian picture, space and time are fundamental frameworks within which the world exists. In the Leibnizian picture, space and time are not self-subsistent containers but expressions of a deeper relational order. This is not a minor philosophical difference. It is a difference in ontology. Modern physics has not straightforwardly confirmed Leibniz. That would be too simple. But it has made the Newtonian picture of absolute space and absolute time much harder to regard as metaphysically self-evident. Relativity theory abandoned absolute simultaneity and the idea of a universal temporal ...