Hole-argumentet: ett modernt efterspel till Leibniz kritik av Newton

Hole-argumentet: ett modernt efterspel till Leibniz kritik av Newton

I ett tidigare inlägg argumenterade jag för att debatten mellan Newton och Leibniz inte är en historisk kuriositet utan en levande fråga om vilken sorts verklighet fysiken beskriver. Den försiktiga ståndpunkten där var att modern fysik gör en relationell ontologi mer tänkbar, utan att bevisa den. Jag vill här ta ett steg längre och redogöra för ett argument som skärper frågan: det så kallade hole-argumentet.

Argumentet har en märklig historia. Einstein formulerade det själv år 1913, under arbetet med den allmänna relativitetsteorin, som ett skäl att förkasta generellt kovarianta fältekvationer. Han trodde att sådana ekvationer gjorde gravitationsfältet otillräckligt bestämt och därmed ledde till en oacceptabel form av underbestämdhet. Denna slutsats försenade hans färdigställande av teorin med omkring två år. I november 1915 kom han fram till att argumentet kunde besvaras och publicerade de färdiga fältekvationerna i generellt kovariant form. Under nästan sjuttio år betraktades argumentet därefter som en återvändsgränd. Det var John Stachel som 1980 påpekade att argumentet hade en djupare filosofisk innebörd, och John Earman och John Norton som 1987 omformulerade det i en mycket uppmärksammad artikel: inte som ett argument mot generell kovarians, utan som ett argument mot en viss typ av ontologi om rumtiden.

Argumentets kärna kan sammanfattas utan tekniska detaljer. Den allmänna relativitetsteorin beskriver rumtiden som en mångfald av punkter försedd med ett metriskt fält och materiefält. Fältekvationerna är generellt kovarianta, vilket betyder att de är invarianta under diffeomorfismer — godtyckliga släta omflyttningar av punkterna i mångfalden. Välj nu en lösning till fältekvationerna, och konstruera en diffeomorfism som är identiteten utanför en vald region — "hålet" — men avviker från identiteten inuti regionen. Använd diffeomorfismen för att transportera de metriska fälten från den ursprungliga lösningen. Resultatet är en ny, matematiskt distinkt lösning som är identisk med den ursprungliga utanför hålet men skiljer sig från den inuti.

Om man antar att rumtidens punkter existerar oberoende av de fält som definieras på dem — den position som brukar kallas substantivalism — så utgör detta två olika fysiska situationer. Men fältekvationerna plus alla randvillkor utanför hålet kan inte avgöra vilken av dem som är den verkliga. Substantivalismen medför därmed en radikal form av underbestämdhet. Den är inte någon slumpmässig eller kvantmekanisk indeterminism, utan en som följer rent matematiskt av den substantivalistiska ontologin kombinerad med teorins struktur.

Earman och Norton drar slutsatsen att substantivalism bör förkastas och att man bör acceptera vad de kallar Leibniz equivalence: de två matematiskt distinkta lösningarna representerar samma fysiska situation. Detta är en tydlig modern bekräftelse av en av Leibniz centrala invändningar mot Newton. Leibniz hävdade i korrespondensen med Clarke att två universum som skiljer sig enbart genom en global förskjutning inte utgör två genuint olika världar, eftersom skillnaden inte motsvarar någon verklig fysisk skillnad och det inte finns något tillräckligt skäl för att välja det ena framför det andra. Hole-argumentet är i grunden samma figur, men applicerad på det lokala, dynamiska rumtidsbegrepp som den allmänna relativitetsteorin ger oss.

Debatten har inte stannat här. Sofistikerade substantivalister som Tim Maudlin, Jeremy Butterfield och Oliver Pooley har utvecklat positioner där rumtidens punkter är fundamentala men där de två matematiska representationerna ändå räknas som samma fysiska situation. Andra har försökt formulera om teorin i termer av algebraiska strukturer där punkter inte är primitiva. Strukturella realister som James Ladyman och Michael Esfeld har argumenterat för en tredje väg där själva strukturen är fundamental. Frågan är med andra ord inte slutgiltigt avgjord. Men det är betecknande att även försvaret av substantivalism har fått anpassa sig till hole-argumentets tryck. En naiv punkt-identitetsbaserad substantivalism, nära den klassiskt newtonska intuitionen, framstår inte längre som ett gångbart alternativ.

Det är här jag vill säga något starkare än vad jag sade i det förra inlägget. Hole-argumentet är inte bara en teknisk filosofisk övning. Min egen slutsats är att den allmänna relativitetsteorin, tagen på djupaste allvar, pressar oss i en riktning där rumtidens punkter inte är fundamentala entiteter utan snarare beroende av en mer fundamental struktur. Detta är en tolkning som sofistikerade substantivalister bestrider, och jag gör inte anspråk på att argumentet avgör frågan. Men den riktning det pekar i är, enligt min mening, den mest naturliga läsningen av teorins egen struktur. Vilken struktur det är — om den är relationell i Leibniz mening, eller strukturell i en mer abstrakt mening, eller något ännu inte formulerat — är en öppen fråga. Men en ontologi av newtonsk typ, där rum och tid förstås som självständiga behållare, framstår inte längre som ett särskilt naturligt alternativ.

Det finns en vidare poäng som förtjänar att lyftas fram. Hole-argumentet är ett specialfall av en mer generell strategi: att identifiera det fysiskt reella med det som överlever en grupp av tillåtna transformationer. I den allmänna relativitetsteorin är det invarians under diffeomorfismer som är avgörande. I speciella relativitetsteorin är det invarians under Lorentztransformationer. I kvantmekaniken är bilden mer omstridd, men också där återkommer tanken att det fysiskt betydelsefulla ligger i det som överlever byte av representation eller observationskontext. Mycket av den moderna fysikens utveckling har bestått i att identifiera nya symmetrier och att göra det som är invariant under dem till det fysiskt fundamentala. Det är, som Hermann Weyl såg tidigt, en generell grammatik snarare än en isolerad teknisk detalj.

Denna generella grammatik är vad jag själv arbetar med under benämningen observer equivariance. Hole-argumentet är, i det perspektivet, ett särskilt tydligt exempel på hur fysikens egen utveckling har tvingat fram ett relationellt synsätt inte som en filosofisk preferens utan som en konsekvens av teorins matematiska struktur. Leibniz kritik mot Newton var inte en metafysisk spekulation vid sidan av fysiken. Den var, kan man nu säga, en förtida formulering av en princip som fysiken själv har behövt utveckla för att fungera.

Det betyder inte att varje sida av Leibniz metafysik har rehabiliterats. Monadologin står inte och faller med hole-argumentet. Men den grundläggande intuitionen — att rum och tid är uttryck för en djupare relationell ordning snarare än självständiga behållare — har fått ett stöd från en riktning Leibniz själv knappast kunde ha förutsett. Att ett argument som Einstein formulerade 1913, övergav i sin ursprungliga form 1915, och vars djupare filosofiska innebörd först långt senare blev tydlig, nu visar sig ge stöd åt en filosofisk intuition från sent 1600-tal är en av de märkligare men också mest upplysande vändningarna i den moderna fysikens filosofi.

Källor och vidare läsning

John Earman och John D. Norton, "What Price Spacetime Substantivalism? The Hole Story", The British Journal for the Philosophy of Science 38 (1987): 515–525.

Carlo Rovelli, Quantum Gravity (Cambridge: Cambridge University Press, 2004).

John Stachel, "Einstein's Search for General Covariance, 1912–1915", i Don Howard och John Stachel (red.), Einstein and the History of General Relativity (Boston: Birkhäuser, 1989).

Tim Maudlin, "The Essence of Space-Time", PSA: Proceedings of the Biennial Meeting of the Philosophy of Science Association 1988: 82–91.

Oliver Pooley, "Substantivalist and Relationalist Approaches to Spacetime", i Robert Batterman (red.), The Oxford Handbook of Philosophy of Physics (Oxford: Oxford University Press, 2013).

Henrique Gomes och Jeremy Butterfield, "The Hole Argument and Beyond, Part I: The Story so Far" och "Part II: Treating Non-isomorphic Spacetimes" (2023).