Gustaf Ullman

Can Mathematics Describe Experience? by Gustaf Ullman Physics and mathematics are extraordinarily powerful. They allow us to predict eclipses, explain why the sky is blue, and design quantum computers. In each case, a structured formalism—equations, symmetries, categories—captures what can be measured and tested. Yet there is a striking boundary: no matter how refined the mathematics becomes, it never seems to tell us what it is like to see red, to hear a melody, or to feel pain. This boundary is not just a vague intuition. It arises from a structural feature of scientific theories, which I call operational closure . A physical theory is operationally closed if all admissible experiments and their combinations remain within the theory. For example, quantum mechanics is closed under sequential and parallel composition of processes, under conditioning on measurement outcomes, and under coarse-graining of statistics. ...

Varför jag inte tror på materialismen Materialismen framställs ofta som det självklara, nästan neutrala, antagandet i vår kultur: världen består av materia, och medvetandet måste förklaras som en biprodukt. Men det finns skäl att ifrågasätta detta, och ett av de starkaste skälen kommer faktiskt från fysiken självt. Fysiken och materiens upplösning I stort sett allt vi kallar ”materia” har en exakt matematisk representation i standardmodellen. Elektroner, kvarkar, fält och krafter – deras egenskaper uttrycks i termer av matematiska symmetrier och relationer. Nästan inget av det vi tillskriver ”materien” går bortom denna matematiska beskrivning. Om något är en illusion, då är det i själva verket materien i sin naiva mening. Här ansluter jag mig till ontologisk strukturell realism : vetenskapen når inte ”tinget i sig”, utan endast dess strukturella relationer. Och den materiella sidan av detta ”ting i sig” framstår snarast som en metafysisk rest – något som vi aldrig direkt erfar...

Är medvetandet en ”excitation” av ett fält? I fysiken beskrivs partiklar ofta som excitationer av fält: fotoner av fotonfältet, elektroner av elektronfältet. Denna föreställning ger oss en intuitiv bild av hur olika fenomen kan framträda ur något mer grundläggande. Frågan blir då: skulle även medvetandet kunna förstås i liknande termer? Här öppnar sig en möjlighet att vända på perspektivet och fråga om medvetandet självt inte är något som växer fram ur materia, utan tvärtom utgör det medium genom vilket materia, rum och tid existerar. 1. Ett fält som primärt I fysiken betraktas fält ofta som de mest fundamentala byggstenarna: det är i fälten som partiklar och krafter har sitt ursprung. Om vi överför denna tanke till medvetandet kan vi föreställa oss att det inte är något som emergent uppstår i hjärnan, utan en slags grundläggande ”fältstruktur” som inrymmer universum. I ett sådant synsätt är det inte medvetandet som finns i rum och tid, utan snarare rum och tid som framträ...

En ”enkel” introduktion till Konform Geometrisk Algebra (CGA) En ”enkel” introduktion till Konform Geometrisk Algebra (CGA) Punkter, linjer, cirklar – utan ekvationssystem. Varför CGA? I klassisk analytisk geometri skriver vi ekvationer för linjer och cirklar och löser små system. I konform geometrisk algebra (CGA) blir samma objekt algebraiska element (så kallade blades ). Det ger två direkta vinster: Enhetligt språk: punkter, linjer och cirklar behandlas likadant. Linjära test: den enkla regeln \(X(P)\wedge \text{Objekt}=0\) ersätter ekvationssystem. Läsanvisning. Vi håller oss i planet (2D) för enkelhets skull. Allt generaliserar till 3D (sfärer, plan, linjer) med samma idéer. Basen i 2D‑CGA och inbäddning av punkter 2D‑CGA använder fyra basisvektorer: \(\{e_x, e_y, e_0, e_\infty\}\), där \(e_0\) och \(e_\infty\) är null (de kvadrerar till noll) och \(e_0\cdot e_\in...

Quine on Ontological Commitment: Do Tables and Chairs Exist? Quine on Ontological Commitment: Do Tables and Chairs Exist? Keywords: ontological commitment, regimentation, paraphrase, indispensability, ontological relativity Summary. For Quine, what exists (by the lights of a theory) is whatever must be in the range of its quantifiers for the theory to be true. In symbols: if a regimented theory entails ∃x T(x) , it is thereby committed to Ts . Fundamental physics contains no predicate Table(x) , so it carries no primitive commitment to tables. Yet our best total regimented theory—science as a whole, including measurement talk and the mathematics it indispensably uses—often quantifies over mid-sized objects; then, by Quine’s criterion, tables do exist. 1. Commitment via quantification Quine’s criterion is spare: to be is to be the value of a bound variable . We assess a theory’s ontology after re...

A Short Introduction to Geometric Algebra – Maxwell’s Equations in Compact Form A Short Introduction to Geometric Algebra (GA) Geometric Algebra unifies scalars, vectors, bivectors (oriented areas), trivectors, and higher-grade elements into a single algebraic system, with the geometric product as its fundamental operation. For orthogonal vectors $a,b$, $ab = a\wedge b$ (an oriented area), while for parallel vectors $ab = a\cdot b$ (a scalar). In general: $$ ab \;=\; a\cdot b \;+\; a\wedge b. $$ This allows us to handle directions and magnitudes without extra machinery (no component indices, no $\epsilon_{ijk}$ symbols, no pseudo-vectors). Spacetime Algebra (STA) and Signature In relativistic physics we often use spacetime algebra (STA) for Minkowski space with signature $(+,-,-,-)$. Let $\{\gamma_\mu\}_{\mu=0}^3$ be an orthonormal basis with $$ \gamma_\mu\cdot \gamma_\nu = \eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+,-,-,-), \qquad \gamma_\mu\gamma_\nu + \ga...

En förbisedd märklighet i kvantfysiken: global beskrivning, lokal verklighet Inom kvantfältteorin beskriver man ofta en partikel som en kombination av enkla vågrörelser. Var och en av dessa enkla vågor sträcker sig, i teorin, över hela universum. Ändå upplever vi alltid partiklar som lokala – de befinner sig på en plats och rör sig längs en bana. Här finns en förbryllande kontrast: den matematiska beskrivningen är global, men det vi ser i verkligheten är lokalt. Lokaliteten uppstår inte av sig själv, utan genom att vågorna samverkar på ett mycket finstilt sätt: de förstärker varandra inom ett begränsat område och tar nästan helt ut varandra överallt annars. Translationssymmetri och vågor En grundläggande symmetri i fysiken är att lagarna är desamma oavsett var man befinner sig i rummet. Denna så kallade translationssymmetri innebär att man kan beskriva rörelser som kombinationer av rena vågor med välbestämd våglängd. Varje sådan våg finns överall...

Fiberknippen och musikaliska tolkningar Ett notblad anger vilka toner som ska spelas, i vilken rytm, ibland också dynamik. Men det avgör inte exakt hur musiken kommer att låta. En musiker kan spela samma notbild med olika anslag, artikulation, tempo och uttryck. Tolkningen är fri inom vissa gränser. Detta kan beskrivas med hjälp av en matematisk struktur: ett fiberknippe . Låt $B$ vara mängden av musikstycken – eller mer exakt: mängden av fastlagda notbilder. Varje $b \in B$ representerar ett stycke med fixerad struktur men öppen tolkning. Till varje $b$ hör en fiber $\pi^{-1}(b)$ som består av möjliga tolkningar av det stycket. En tolkning här är ett sätt att spela hela stycket från början till slut – inklusive val av tempo, frasering, dynamik, rubato och andra uttrycksparametrar som inte specificeras entydigt i notbilden. Den totala mängden $E$ består av alla sådana tolkningar av alla stycken. Det finns en funktion $$ \pi : E \to B $$ som för varje tolkning ...

Parallella världar och oändligheter i Mångavärldstolkningen Publicerat: 17 juni 2025 Mångavärldstolkningen (MWI) av kvantmekaniken må vara kontroversiell, men den har också ett fascinerande matematiskt djup: när ett kvantsystem decoherar, sägs hela universums vågfunktion “spricka” i en uppsjö av parallella världar. Hur många är dessa världar egentligen? Kontinuerliga utfallsrum och kardinaliteter I vardagsexempel – som att kasta en tärning – finns bara ett ändligt antal utfall (sex). Men i kvantfältteori mäts ofta kontinuerliga värden, till exempel fältstyrkor som kan variera fritt över ℝ. Mängden av alla reella tal har kardinaliteten 2 ℵ₀ (”kontinuum”). När man sedan betraktar hela fältkonfigurationer – det vill säga en funktionskurva ℝ³→ℝ vid varje ögonblick – får man en ännu större mängd: |ℝ ℝ³ | = (2 ℵ₀ ) 2 ℵ₀ = 2 2 ℵ₀ . ...

Tomita–Takesaki: Kvantfysikens dolda arkitektur Tomita–Takesaki-teorin är inte särskilt känd utanför specialistkretsar. Den dyker upp i kvantfältteorin, men sällan i populärvetenskapliga sammanhang. Ändå pekar den mot något som inte riktigt liknar de vanliga begreppen om partiklar, krafter eller vågor. Den handlar inte om vad världen består av, utan om hur den framträder ur ett perspektiv. I centrum står ett par (A, Ω) , där A är en von Neumann-algebra av observerbara storheter, och Ω är ett tillstånd. Men jag tolkar det som något mer än så: som ett observatörsperspektiv . Det handlar inte bara om vilket tillstånd världen befinner sig i, utan om hur världen träder fram relativt ett visst sätt att observera. I vanlig kvantmekanik talar man ofta om |ψ⟩ och ⟨ψ| som tillstånd respektive mätning. Men (A, Ω) är mer generellt. Det beskriver både ett tillstånd och ett fält av möjliga mätningar – inte en enskild frågeställning, utan en hel struktur av potentiell erfarenhet. Det...

London & Bauer: Medvetandet i kvantfysikens hjärta I en banbrytande artikel från 1939 föreslog fysikerna Fritz London och Edmond Bauer något radikalt: den kvantmekaniska vågfunktionen kollapsar först när en medveten observatör uppfattar resultatet. De tog alltså Köpenhamnstolkningen ett steg längre. Enligt London & Bauer räcker det inte med en fysisk mätapparat – det krävs en subjektiv akt av introspektion för att världen ska "välja" ett bestämt utfall. Fenomenologi möter fysik Inspirerade av den filosofiska traditionen från Edmund Husserl beskrev de mätningen som en akt av objektivering – något som uppstår i medvetandet. Deras synsätt kan kallas en fenomenologisk epistemologi : världen blir bestämd i och genom perspektivet. I deras ord: "Det är först genom introspektionens medvetna akt som observatören blir medveten om ett visst resultat – och detta, enligt vår mening, är den enda verkliga 'kollapsen' av vågfunktionen." Före ...

Imre Lakatos: Forskning som myt och metod Vad är vetenskap egentligen? De flesta skulle säga att vetenskap handlar om att testa hypoteser mot fakta. Men så enkelt är det inte, menade filosofen Imre Lakatos (1922–1974). Lakatos föreslog i stället att vetenskap utvecklas genom det han kallade forskningsprogram . Ett forskningsprogram är inte bara en enskild teori, utan ett helt paket av grundidéer, metoder och hjälpantaganden. Programmet har en hård kärna (som inte ifrågasätts i första taget) och ett skyddsbälte av modifierbara delar som kan justeras när programmet möter motstånd. Det viktiga, enligt Lakatos, är att forskningsprogram kan vara progressiva eller degenerativa . Ett progressivt program ger nya förutsägelser, nya fenomen att undersöka. Ett degenerativt program tvingas hela tiden lappa och laga utan att komma vidare. Ett exempel från fysiken Ta till exempel Newtons mekanik. I början var det revolutionerande och förklarade både planetrörelser och fallande äpplen....

Vem var Willard Van Orman Quine? Willard Van Orman Quine (1908–2000) var en amerikansk filosof och logiker som kom att få stort inflytande över 1900-talets analytiska filosofi. Han är särskilt känd för sitt arbete inom logik, vetenskapsteori och metafysik. Quines tankar har påverkat hur många filosofer och vetenskapsteoretiker idag ser på relationen mellan filosofi och naturvetenskap. Quines filosofi i korthet Quine menade att vi inte kan skilja skarpt mellan filosofi och vetenskap. Filosofin är inte ett separat område med egna metoder – snarare är den en förlängning av den vetenskapliga strävan att förstå världen. Hans synsätt brukar kallas naturalism : filosofin ska utgå från våra bästa vetenskapliga teorier. En av Quines mest kända teser är: "To be is to be the value of a bound variable." Vad menar han med det? Kortfattat: det vi bör betrakta som verkligt (det som ”finns”) är de saker som våra bästa vetenskapliga teorier måste referera till för att fungera....

Exploring Nodal Lines in Random De Broglie Waves Exploring Nodal Lines in Random De Broglie Waves By Gustaf Ullman Introduction Nodal lines are a fascinating feature of random wave superpositions in quantum chaos. These lines, where either the real or imaginary parts of the wavefunction equal zero, reveal intricate patterns that merge randomness and structure. Using equation 1 from the paper "Nodal lines of random wavefunctions: perimeter corrections, statistics and scaling" by Saichev et al, we generate nodal lines for a superposition of De Broglie waves with random amplitudes, directions, and phases. Method The wavefunction is constructed as: ψ(r) = Σ a j exp(i(k j ·r + φ j )) Here, a j represents random amplitudes, k j is the wavevector with random directions, and φ j is the random phase. Nodal lines are identified where Re(ψ) = 0 or Im(ψ) = 0 . Results The generated nodal lines for R...

Creating Digital Art Using 2D Fourier Transforms Creating Digital Art Using 2D Fourier Transforms By Gustaf Ullman Introduction Digital art can explore concepts and techniques rooted in mathematics. One such method involves the use of two-dimensional Fourier transforms to create intricate and randomized patterns. This article outlines how to generate "lumpy" spatial frequency images in CMY (cyan, magenta, yellow) using a simple mathematical framework. Method The process begins with a radially symmetric function, such as: f(r) = A exp(-br) where r is the radial distance from the center of the image, A is the amplitude, and b controls the frequency distribution. This function is then assigned a random phase for each pixel, sampled uniformly between 0 and 2π. After applying a 2D Fourier transform to the resulting function, the output image exhibits a "lumpy" pattern, with spatial frequencies distri...