En "enkel" introduktion till Konform Geometrisk Algebra (CGA)

En ”enkel” introduktion till Konform Geometrisk Algebra (CGA)

En ”enkel” introduktion till Konform Geometrisk Algebra (CGA)

Punkter, linjer, cirklar – utan ekvationssystem.

Varför CGA?

I klassisk analytisk geometri skriver vi ekvationer för linjer och cirklar och löser små system. I konform geometrisk algebra (CGA) blir samma objekt algebraiska element (så kallade blades). Det ger två direkta vinster:

  • Enhetligt språk: punkter, linjer och cirklar behandlas likadant.
  • Linjära test: den enkla regeln \(X(P)\wedge \text{Objekt}=0\) ersätter ekvationssystem.
Läsanvisning. Vi håller oss i planet (2D) för enkelhets skull. Allt generaliserar till 3D (sfärer, plan, linjer) med samma idéer.

Basen i 2D‑CGA och inbäddning av punkter

2D‑CGA använder fyra basisvektorer: \(\{e_x, e_y, e_0, e_\infty\}\), där \(e_0\) och \(e_\infty\) är null (de kvadrerar till noll) och \(e_0\cdot e_\infty = -1\).

En Euklidisk punkt \((x,y)\) bäddas in som en null‑vektor:

\[ X(x,y) \;=\; e_0 \;+\; x\,e_x \;+\; y\,e_y \;+\; \tfrac{1}{2}(x^2+y^2)\,e_\infty, \qquad X(x,y)^2 = 0. \]

Avstånd med en inreprodukt

För två punkter \(P=(x_1,y_1)\) och \(Q=(x_2,y_2)\) gäller:

\[ \|P-Q\|^2 \;=\; -2\,X(P)\cdot X(Q). \]

Linjen genom två punkter

I CGA skrivs linjen genom punkterna \(A\) och \(B\) (OPNS – ”outer product null space”) som:

\[ L \;=\; X(A)\,\wedge\,X(B)\,\wedge\,e_\infty. \]

En punkt \(P\) ligger på linjen om och endast om:

\[ X(P)\,\wedge\,L \;=\; 0. \]

Numeriskt exempel

Välj \(A=(1,0)\) och \(B=(0,1)\). Då är

\[ X(A) = e_0 + e_x + \tfrac{1}{2} e_\infty,\qquad X(B) = e_0 + e_y + \tfrac{1}{2} e_\infty. \]

Linjen blir:

\[ L = X(A)\wedge X(B)\wedge e_\infty. \]

Testa \(P=(2,-1)\): \(X(P)=e_0+2e_x-e_y+\tfrac{5}{2}e_\infty\). Man finner \(X(P)\wedge L=0\), alltså ligger \(P\) på linjen. I vanliga koordinater är det linjen \(x+y=1\).

Sammanfattning (linje):

  • \(L=X(A)\wedge X(B)\wedge e_\infty\).
  • \(X(P)\wedge L=0 \iff P\) ligger på linjen.
  • Ingen lutning, inga koefficienter – bara en wedge.

Cirkeln genom tre punkter

Tre icke‑kollinära punkter i planet bestämmer en unik cirkel. I CGA är:

\[ C \;=\; X(A)\,\wedge\,X(B)\,\wedge\,X(C) \]

(OPNS‑form). En punkt \(P\) ligger på cirkeln om och endast om:

\[ X(P)\,\wedge\,C \;=\; 0. \]

Numeriskt exempel

Välj \(A=(1,0)\), \(B=(0,1)\), \(C=(-1,0)\). Då får man (i vanliga koordinater) enhetscirkeln \(x^2+y^2=1\), men i CGA räcker:

\[ C = X(A)\wedge X(B)\wedge X(C). \]

För \(P=\!\left(\tfrac{\sqrt2}{2}, \tfrac{\sqrt2}{2}\right)\) gäller \(X(P)\wedge C=0\) → \(P\) ligger på cirkeln. För \(D=(0,2)\) blir testet icke‑noll → \(D\) ligger inte på cirkeln.

IPNS‑form & ”avstånd” till cirkel

Dualisera med pseudoskalaren \(I\) i CGA: \(C^\ast = C\,I^{-1}\). Då är incidens‑testet en enkel inreprodukt:

\[ X(P)\cdot C^\ast = 0 \quad\iff\quad P \text{ ligger på cirkeln.} \]

För en cirkel med centrum \(c\) och radie \(r\) kan man skriva \(C^\ast = X(c) - \tfrac12 r^2 e_\infty\). Då blir:

\[ X(P)\cdot C^\ast = \tfrac12\big(\|P-c\|^2 - r^2\big), \]

vilket direkt talar om om \(P\) ligger inuti, på eller utanför cirkeln (negativt, noll, positivt).

Sammanfattning (cirkel):

  • \(C=X(A)\wedge X(B)\wedge X(C)\) (OPNS).
  • Testa med \(X(P)\wedge C=0\) eller (IPNS) \(X(P)\cdot C^\ast=0\).
  • Dual IPNS ger också ”signed distance” till cirkeln via en enda skalar.

Reflektioner & inversioner (bonuseffekt)

I CGA utförs reflektion i en linje eller cirkel med samma sandwich‑regel:

\[ X' \;=\; -\,A\,X\,A^{-1}, \]

där \(A\) är objektet du reflekterar i: \(L\) (linje, lämpligt dualiserad) eller \(C^\ast\) (cirkel i IPNS). Det betyder att ”inversion i en cirkel” är lika lätt som ”spegling i en linje”.

Snabb ”verktygslåda” (2D‑CGA)

Punkt:
  X(x,y) = e0 + x ex + y ey + ½(x²+y²) e∞   (X² = 0)

Avstånd:
  ||P - Q||² = -2 ( X(P) · X(Q) )

Linje genom A,B (OPNS):
  L = X(A) ∧ X(B) ∧ e∞
  P på linjen  ⇔  X(P) ∧ L = 0

Cirkel genom A,B,C (OPNS):
  C = X(A) ∧ X(B) ∧ X(C)
  P på cirkeln ⇔  X(P) ∧ C = 0

Cirkel (IPNS, centrum c, radie r):
  C* = X(c) - ½ r² e∞
  P på cirkeln ⇔ X(P) · C* = 0
  ”Signed distance”: X(P) · C* = ½(||P-c||² - r²)

Reflektion (linje/cirkel):
  X' = - A X A⁻¹   (A = L eller C*)

Slutord. CGA gör skolgeometri till ren algebra: ”linje = wedge”, ”cirkeltillhörighet = wedge eller dot”. Det är därför CGA känns så kraftfullt redan på den här nivån – du får en knapp handfull regler som täcker nästan allt i plan geometri, och samma regler skalar till 3D (sfärer/plan) och vidare.

Kommentarer

Skicka en kommentar

Populära inlägg i den här bloggen

Creating Digital Art Using 2D Fourier Transforms

Bild
Creating Digital Art Using 2D Fourier Transforms Creating Digital Art Using 2D Fourier Transforms By Gustaf Ullman Introduction Digital art can explore concepts and techniques rooted in mathematics. One such method involves the use of two-dimensional Fourier transforms to create intricate and randomized patterns. This article outlines how to generate "lumpy" spatial frequency images in CMY (cyan, magenta, yellow) using a simple mathematical framework. Method The process begins with a radially symmetric function, such as: f(r) = A exp(-br) where r is the radial distance from the center of the image, A is the amplitude, and b controls the frequency distribution. This function is then assigned a random phase for each pixel, sampled uniformly between 0 and 2π. After applying a 2D Fourier transform to the resulting function, the output image exhibits a "lumpy" pattern, with spatial frequencies distri...
Läs mer

The Philosophy of Norwood Russell Hanson

In the philosophy of science, names like Popper and Kuhn are well-known. We occasionally hear of figures like Feyerabend and Lakatos as well, yet Norwood Russell Hanson is rarely mentioned. Kuhn was inspired by his philosophy, but actually I like the original better. Hanson was influenced by Wittgenstein’s later philosophy, particularly the idea that meaning and perception are shaped by our conceptual frameworks and language. From this, Hanson developed his notion of “theory-ladenness,” arguing that scientific observation is never purely objective but always influenced by prior knowledge and theoretical commitments. This view, foundational to Hanson’s work, highlights that in science, what we see depends on how we understand—a perspective that also influenced thinkers like Kuhn. Norwood Russell Hanson argued that observation in science is never purely objective; it’s always influenced by prior theories, beliefs, and expectations—a concept he called “theory-ladenness.” He believed that ...
Läs mer

Are Stars a Form of Life? A Metabolic Perspective

Are Stars a Form of Life? A Metabolic Perspective One of the defining characteristics of life, as commonly understood in biological terms, is metabolism. Metabolism refers to the set of chemical processes that allow an entity to sustain itself, grow, and interact with its environment. In this context, the question arises: could stars, with their remarkable nuclear processes, be considered a form of life? The Metabolism of Stars Stars are born from vast clouds of gas and dust, primarily hydrogen. As they form, the immense pressure and temperature in their cores initiate nuclear fusion—a process where hydrogen atoms combine to form helium. This phase, known as the main sequence, dominates a star’s life and is analogous, in some sense, to an organism consuming a primary energy source to maintain itself. As stars exhaust their hydrogen, they begin to "metabolize" helium, producing heavier elements such as carbon, nitrogen, and oxygen. These elements are essential for the ...
Läs mer