Gustaf Ullman

En ”enkel” introduktion till Konform Geometrisk Algebra (CGA) En ”enkel” introduktion till Konform Geometrisk Algebra (CGA) Punkter, linjer, cirklar – utan ekvationssystem. Varför CGA? I klassisk analytisk geometri skriver vi ekvationer för linjer och cirklar och löser små system. I konform geometrisk algebra (CGA) blir samma objekt algebraiska element (så kallade blades ). Det ger två direkta vinster: Enhetligt språk: punkter, linjer och cirklar behandlas likadant. Linjära test: den enkla regeln \(X(P)\wedge \text{Objekt}=0\) ersätter ekvationssystem. Läsanvisning. Vi håller oss i planet (2D) för enkelhets skull. Allt generaliserar till 3D (sfärer, plan, linjer) med samma idéer. Basen i 2D‑CGA och inbäddning av punkter 2D‑CGA använder fyra basisvektorer: \(\{e_x, e_y, e_0, e_\infty\}\), där \(e_0\) och \(e_\infty\) är null (de kvadrerar till noll) och \(e_0\cdot e_\in...

Quine on Ontological Commitment: Do Tables and Chairs Exist? Quine on Ontological Commitment: Do Tables and Chairs Exist? Keywords: ontological commitment, regimentation, paraphrase, indispensability, ontological relativity Summary. For Quine, what exists (by the lights of a theory) is whatever must be in the range of its quantifiers for the theory to be true. In symbols: if a regimented theory entails ∃x T(x) , it is thereby committed to Ts . Fundamental physics contains no predicate Table(x) , so it carries no primitive commitment to tables. Yet our best total regimented theory—science as a whole, including measurement talk and the mathematics it indispensably uses—often quantifies over mid-sized objects; then, by Quine’s criterion, tables do exist. 1. Commitment via quantification Quine’s criterion is spare: to be is to be the value of a bound variable . We assess a theory’s ontology after re...

A Short Introduction to Geometric Algebra – Maxwell’s Equations in Compact Form A Short Introduction to Geometric Algebra (GA) Geometric Algebra unifies scalars, vectors, bivectors (oriented areas), trivectors, and higher-grade elements into a single algebraic system, with the geometric product as its fundamental operation. For orthogonal vectors $a,b$, $ab = a\wedge b$ (an oriented area), while for parallel vectors $ab = a\cdot b$ (a scalar). In general: $$ ab \;=\; a\cdot b \;+\; a\wedge b. $$ This allows us to handle directions and magnitudes without extra machinery (no component indices, no $\epsilon_{ijk}$ symbols, no pseudo-vectors). Spacetime Algebra (STA) and Signature In relativistic physics we often use spacetime algebra (STA) for Minkowski space with signature $(+,-,-,-)$. Let $\{\gamma_\mu\}_{\mu=0}^3$ be an orthonormal basis with $$ \gamma_\mu\cdot \gamma_\nu = \eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+,-,-,-), \qquad \gamma_\mu\gamma_\nu + \ga...

En förbisedd märklighet i kvantfysiken: global beskrivning, lokal verklighet Inom kvantfältteorin beskriver man ofta en partikel som en kombination av enkla vågrörelser. Var och en av dessa enkla vågor sträcker sig, i teorin, över hela universum. Ändå upplever vi alltid partiklar som lokala – de befinner sig på en plats och rör sig längs en bana. Här finns en förbryllande kontrast: den matematiska beskrivningen är global, men det vi ser i verkligheten är lokalt. Lokaliteten uppstår inte av sig själv, utan genom att vågorna samverkar på ett mycket finstilt sätt: de förstärker varandra inom ett begränsat område och tar nästan helt ut varandra överallt annars. Translationssymmetri och vågor En grundläggande symmetri i fysiken är att lagarna är desamma oavsett var man befinner sig i rummet. Denna så kallade translationssymmetri innebär att man kan beskriva rörelser som kombinationer av rena vågor med välbestämd våglängd. Varje sådan våg finns överall...