Fiberknippen och musik

Fiberknippen och musikaliska tolkningar

Ett notblad anger vilka toner som ska spelas, i vilken rytm, ibland också dynamik. Men det avgör inte exakt hur musiken kommer att låta. En musiker kan spela samma notbild med olika anslag, artikulation, tempo och uttryck. Tolkningen är fri inom vissa gränser.

Detta kan beskrivas med hjälp av en matematisk struktur: ett fiberknippe.

Låt $B$ vara mängden av musikstycken – eller mer exakt: mängden av fastlagda notbilder. Varje $b \in B$ representerar ett stycke med fixerad struktur men öppen tolkning.

Till varje $b$ hör en fiber $\pi^{-1}(b)$ som består av möjliga tolkningar av det stycket. En tolkning här är ett sätt att spela hela stycket från början till slut – inklusive val av tempo, frasering, dynamik, rubato och andra uttrycksparametrar som inte specificeras entydigt i notbilden.

Den totala mängden $E$ består av alla sådana tolkningar av alla stycken. Det finns en funktion

$$ \pi : E \to B $$

som för varje tolkning $e \in E$ anger vilket stycke $b \in B$ den hör till. För varje $b$ är

$$ \pi^{-1}(b) \subset E $$

den mängd av tolkningar som realiserar just $b$.

Strukturen $(E, B, \pi)$ är ett fiberknippe. Det organiserar hur ett tolkningsrum är fäst över varje stycke. Samma notbild kan tolkas på många olika sätt, men varje tolkning är förankrad i ett specifikt verk.

Sektioner

En funktion

$$ s : B \to E \quad \text{så att} \quad \pi \circ s = \mathrm{id}_B $$

kallas en sektion. Den väljer, för varje stycke $b \in B$, en tolkning $s(b) \in \pi^{-1}(b)$. En sektion anger alltså hur man spelar varje stycke, givet att notbilden är fixerad.

Man kan då säga att en viss musiker – genom sin spelstil – definierar en sektion. För varje stycke väljs en bestämd tolkning, enligt ett mönster som är konsekvent över hela basmängden $B$. Tolkningen är inte bara lokal, utan helhetsbunden.

Kommentarer

Skicka en kommentar

Populära inlägg i den här bloggen

Creating Digital Art Using 2D Fourier Transforms

Bild
Creating Digital Art Using 2D Fourier Transforms Creating Digital Art Using 2D Fourier Transforms By Gustaf Ullman Introduction Digital art can explore concepts and techniques rooted in mathematics. One such method involves the use of two-dimensional Fourier transforms to create intricate and randomized patterns. This article outlines how to generate "lumpy" spatial frequency images in CMY (cyan, magenta, yellow) using a simple mathematical framework. Method The process begins with a radially symmetric function, such as: f(r) = A exp(-br) where r is the radial distance from the center of the image, A is the amplitude, and b controls the frequency distribution. This function is then assigned a random phase for each pixel, sampled uniformly between 0 and 2π. After applying a 2D Fourier transform to the resulting function, the output image exhibits a "lumpy" pattern, with spatial frequencies distri...
Läs mer

The Philosophy of Norwood Russell Hanson

In the philosophy of science, names like Popper and Kuhn are well-known. We occasionally hear of figures like Feyerabend and Lakatos as well, yet Norwood Russell Hanson is rarely mentioned. Kuhn was inspired by his philosophy, but actually I like the original better. Hanson was influenced by Wittgenstein’s later philosophy, particularly the idea that meaning and perception are shaped by our conceptual frameworks and language. From this, Hanson developed his notion of “theory-ladenness,” arguing that scientific observation is never purely objective but always influenced by prior knowledge and theoretical commitments. This view, foundational to Hanson’s work, highlights that in science, what we see depends on how we understand—a perspective that also influenced thinkers like Kuhn. Norwood Russell Hanson argued that observation in science is never purely objective; it’s always influenced by prior theories, beliefs, and expectations—a concept he called “theory-ladenness.” He believed that ...
Läs mer

Are Stars a Form of Life? A Metabolic Perspective

Are Stars a Form of Life? A Metabolic Perspective One of the defining characteristics of life, as commonly understood in biological terms, is metabolism. Metabolism refers to the set of chemical processes that allow an entity to sustain itself, grow, and interact with its environment. In this context, the question arises: could stars, with their remarkable nuclear processes, be considered a form of life? The Metabolism of Stars Stars are born from vast clouds of gas and dust, primarily hydrogen. As they form, the immense pressure and temperature in their cores initiate nuclear fusion—a process where hydrogen atoms combine to form helium. This phase, known as the main sequence, dominates a star’s life and is analogous, in some sense, to an organism consuming a primary energy source to maintain itself. As stars exhaust their hydrogen, they begin to "metabolize" helium, producing heavier elements such as carbon, nitrogen, and oxygen. These elements are essential for the ...
Läs mer